Как золотое сечение появляется в растениях?

Поднимите сосновую шишку и посмотрите на неё с торца, со стороны черенка. Чешуйки складываются в две системы спиралей: одни закручены по часовой стрелке, другие против. Сосчитайте и те и другие. У сосновой шишки обычно выходит 8 и 13, у крупной еловой — 13 и 21. В подсолнухе 34 и 55, у ананаса 5, 8 и 13.

Это числа Фибоначчи: каждое — сумма двух предыдущих, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Тысячи растений, не родственных друг другу, считают одинаково. Причина не в замысле и не в наследственности, а в геометрии: каждая новая чешуйка закладывается на верхушке побега там, где больше всего свободного места, — и это автоматически даёт поворот на 137,5° от предыдущей. Такой угол не даёт чешуйкам выстроиться в ряды и заполняет поверхность плотнее любого другого. А спирали Фибоначчи — просто то, как наш глаз связывает точки, расставленные под этим углом.

Что сделать. Возьмите три шишки разного размера и посчитайте спирали в каждую сторону. У большинства получатся два соседних числа из ряда 3, 5, 8, 13, 21. Шишка с 7 или 10 спиралями встретится редко, если встретится вообще.

Что происходит на верхушке побега. Растение растёт точкой. На самом кончике стебля есть зона, где из ткани отделяются крошечные бугорки — будущие листья, чешуйки или лепестки. Каждый новый бугорок появляется не где попало: он формируется там, где для него больше всего места, подальше от двух-трёх предыдущих. Это правило сформулировал Вильгельм Гофмейстер в 1868 году.

Если измерить угол между двумя последовательными бугорками, он оказывается близок к 137,5°. Угол повторяется у подсолнуха, капусты, кактуса, сосны — у видов, не имеющих общего предка на сотни миллионов лет.

Почему именно этот угол. Представьте, что рассаживаете чешуйки по стеблю и каждую следующую поворачиваете на один и тот же угол. Если угол — простая доля оборота, скажем треть или две пятых, новые чешуйки скоро лягут точно над старыми, столбиками, и между столбиками останутся пустые полосы. Если же угол — иррациональная доля оборота, чешуйки никогда не лягут друг над другом и всегда попадут в промежутки.

Но иррациональные числа бывают «более» и «менее» иррациональными: одни хорошо приближаются простыми дробями, другие — плохо. Самое упрямое из всех — золотое сечение:

$$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618,\qquad \frac{360^\circ}{\varphi^{2}}\approx137{,}5^\circ$$

модель

То есть золотой угол — это доля оборота, которую хуже всего удаётся приблизить дробью с малым знаменателем, и потому чешуйки под ним дольше всего не выстраиваются в ряды. Это наилучшая возможная упаковка для элементов, появляющихся по одному.

У слова «хуже всего» есть мера. Если доля оборота $\alpha$ близка к дроби $p/q$, то через $q$ шагов чешуйка почти возвращается на то же направление и промахивается на $q\,|\alpha-p/q|$ оборота; малый промах означает, что получился ряд. Теорема Гурвица утверждает: для любого иррационального $\alpha$ найдутся сколь угодно большие $q$, при которых промах меньше $1/(\sqrt5\,q)$ оборота, и для золотого сечения число $\sqrt5$ улучшить нельзя. Для золотого угла промах при $q=5$ равен 32°, при $q=8$ — 20°, при $q=13$ — 12°, при $q=21$ — 8°: он убывает не быстрее, чем $1/(\sqrt5\,q)$, а у других углов находятся $q$, при которых промах меньше.

Откуда берутся числа Фибоначчи. Когда точки расставлены под золотым углом, глаз связывает ближайшие в спирали. Сколько спиралей насчитается, зависит от плотности упаковки, и это всегда два соседних числа ряда Фибоначчи: они — лучшие дроби, приближающие золотое сечение, $8/13$, $13/21$, $21/34$. Спираль — это цепочка чешуек с номерами $n,\ n+q,\ n+2q,\dots$, у которых соседние члены лежат почти на одном луче, а для этого $q\alpha$ должно быть почти целым числом оборотов. Для золотого угла ($\alpha=1/\varphi^{2}\approx 0{,}382$) так работают числа Фибоначчи: $8\alpha\approx 3{,}056$ и $13\alpha\approx 4{,}966$ оборота, поэтому чешуйки $n$ и $n+8$, $n$ и $n+13$ лежат почти на одной линии и дают два семейства спиралей. Спирали в шишке — не то, что растение строит, а то, что мы видим в узоре из точек.

Предположения, на которых стоит объяснение:

1. Бугорки закладываются по одному, с постоянным промежутком времени.
2. Каждый новый отталкивается от прежних — химически или механически.
3. Верхушка растёт, и старые бугорки уходят от центра.

Нарушьте любое — и получится другой узор, об этом в «Глубже».

Тот же угол вне растений. В компьютерной графике золотой угол используют, чтобы расставить точки без видимых полос — при выборке направлений в моделях освещения. На нём же предлагают размещать точки на сфере — от датчиков на куполе до орбит спутниковых группировок, где аппараты должны покрывать небо равномерно. Задача одна: разместить как можно больше элементов как можно равномернее, без общего плана.

Опыт, который вывел золотой угол из ботаники. Долго считалось, что золотое сечение в растениях — особая черта живого, едва ли не след замысла. В 1992 году физики Стефан Дуади и Ив Кудер собрали установку без единой клетки: в центр чаши с маслом одну за другой роняли капли магнитной жидкости, магнитное поле отталкивало капли друг от друга и медленно уводило к краю. Капли сами расставлялись под углом 137,5° и складывались в спирали Фибоначчи. Когда капли роняли реже, узор переходил на другие пары чисел, когда чаще — на следующие, ровно как на верхушке побега¹.

Значит, золотой угол возникает в целом классе систем, где элементы появляются по очереди и расталкивают предыдущие. Растения в этот класс попадают, но не они одни.

Как из отталкивания получается угол. В модели Дуади — Кудера единственный параметр — безразмерное число: путь, который элемент проходит от центра за один промежуток между появлениями, делённый на размер центральной области:

$$G=\frac{v\,T}{R_0}$$

модель

Здесь $v$ — скорость, с которой элементы уходят от центра на краю центральной области, $T$ — промежуток между появлениями, $R_0$ — радиус центральной области, за пределами которой положение элементов уже зафиксировано². Иначе говоря, $G$ показывает, далеко ли успел уйти предыдущий элемент к моменту появления нового. При большом $G$ прежние элементы далеко, и новый садится напротив предыдущего — угол 180°, листья по два. При уменьшении $G$ угол уходит от 180° и сходится к 137,5°, а видимые спирали проходят пары чисел 1–2, 2–3, 3–5, 5–8 и дальше. Растение не «вычисляет» золотое сечение — оно проходит по этой лестнице по мере того, как растёт верхушка.

Насколько это правило строго. В 2016 году Джонатан Суинтон и коллеги провели самое большое измерение: 657 подсолнухов, выращенных добровольцами по всей Британии в память об Алане Тьюринге — он занимался этой задачей в последние годы жизни. Из 768 надёжно посчитанных семейств спиралей 565, то есть 74 %, дали числа Фибоначчи; ещё 67 — родственные ряды того же устройства, например ряд Люка 1, 3, 4, 7, 11, 18. Но почти каждый пятый подсолнух показал либо число не из ряда, либо узор сложнее любого описанного³. Правило сильное, но не железное.

Границы этого рассуждения.

• Золотой угол — не константа природы, а притягивающее значение. Измеренные углы у растений — от 135° до 140°; 137,5° — центр распределения, а не точное значение у каждого бугорка.
• Есть растения вне правила. Супротивные и мутовчатые листья — угол 180° и 120°, это те же модели при большом $G$. Нарушение отталкивания дают и мутанты с хаотичным листорасположением.
• Модель говорит о геометрии, а не о молекулах. Что именно «отталкивает» бугорки — гормон ауксин, вытягиваемый из зоны вокруг каждого зачатка, — установили только в 2000-е; модель 1992 года об этом молчит и работает с любым отталкиванием.
• Симметрия шишки — следствие, а не цель. Шишка симметрична, потому что все её чешуйки заложены одним правилом с одним углом; стоит правилу дать сбой, и шишка выходит кривой — такие попадаются.

О чём спорят. Какая из моделей ближе к растению — геометрическое отталкивание Дуади — Кудера, химическое ингибирование ауксином или механика напряжений в растущей ткани, — обсуждают до сих пор: все три дают золотой угол в норме и расходятся в предсказаниях о сбоях. Именно поэтому Суинтон собирал не только фибоначчиевы подсолнухи, а «неправильные»: сбои различают модели лучше, чем норма.

Открытый вопрос. Почему у одних видов сбои редки, а у подсолнуха — каждый пятый? Связано ли это с размером корзинки, скоростью роста или чем-то ещё, по 657 растениям решить нельзя; для ответа нужен такой же счёт на шишках, кактусах и капусте.