Сколько дров съест тёплый дом?

Кирпичный дом 150 м², большая печь, на улице 12 °C днём и 6 °C ночью. Сколько дров нужно, чтобы двое суток держать дома 20 °C?

Около 88 кг сухих дров по расчёту, практически — около 100 кг с запасом, то есть примерно 0,20–0,25 складочного кубометра. Для хорошо утеплённого дома хватит 50–60 кг, продуваемому старому понадобится 120–140 кг.

На первый взгляд это задача про теплотворность дров. На самом деле главное неизвестное здесь другое: насколько быстро дом теряет тепло. Одной площади пола недостаточно — точного ответа из условия нет вовсе. Зато можно построить простую модель, все допущения которой видны и легко заменяются своими числами. И у этой модели есть неожиданный побочный вывод: тяжёлый кирпичный дом, если перестать топить, остывает с 20 °C всего до 15 °C за сутки.

Как превратить дом в одну формулу — и куда в ней входит печь объёмом пять кубометров?

Предположения модели явным списком: 150 м² — суммарная площадь двух этажей, то есть пятно застройки около 75 м² (план 10 × 7,5 м, высота наружных стен 6 м, фасады — 210 м²); окна занимают 15 % фасада; стена — кладка в два кирпича, 51 см, без наружного утепления; воздух в доме обновляется наполовину за час.

Для красного кирпича теплопроводность $\lambda \approx 0{,}69$ Вт/(м·К)¹. Тогда с поверхностными сопротивлениями стена пропускает

$$U_{\text{wall}} \approx \frac{1}{0{,}13 + 0{,}51/0{,}69 + 0{,}04} \approx 1{,}10 \ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.$$

Остальные коэффициенты — не константы природы, а параметры типовой модели: окна с двойным остеклением в старых рамах — 2,5 (одинарное стекло дало бы все 5), чердачное перекрытие с засыпкой — 0,5, пол — 0,6 Вт/(м²·К). Все теплопотери удобно собрать в один коэффициент $H$: если внутри на градус теплее, чем снаружи, дом теряет мощность $H$ ватт.

$$H \approx 0{,}433\ \text{кВт/К}.$$

Строка «Воздухообмен» считается так: $H_{\text{возд}} = 0{,}33\cdot n\cdot V = 0{,}33\cdot 0{,}5\cdot 450 \approx 74$ Вт/К (в таблице округлено до 75), где $n = 0{,}5$ ч⁻¹ — кратность воздухообмена, $V = 75\cdot 6 = 450$ м³ — объём дома по габаритам, а $0{,}33$ Вт·ч/(м³·К) — объёмная теплоёмкость воздуха ($1{,}2$ кг/м³ · $1{,}0$ кДж/(кг·К) / $3{,}6$). Для нового хорошо построенного дома с закрытыми окнами типично около 0,5 ч⁻¹, для старого в открытом месте бывает больше 2 ч⁻¹², поэтому у продуваемого старого дома эта строка заметно больше.

Это главное число всей задачи. Средняя уличная температура при равных дне и ночи — 9 °C, значит, за двое суток дом отдаст $Q = H\,(20-9)\cdot 48 \approx 228$ кВт·ч.

Дальше — дрова. Подсушенные дрова влажностью около 20 % дают при сгорании около 4,0 кВт·ч/кг (это низшая, рабочая теплота — часть энергии уносит испаряемая влага)³, а большая кирпичная печь доносит до комнат примерно 65 % этой энергии — оценка консервативная, паспортные КПД теплоёмких печей 70–80 %. Полезной остаётся 2,6 кВт·ч с килограмма, и

$$m = \frac{228}{0{,}65 \cdot 4{,}0} \approx 88\ \text{кг}.$$

Запас в 10–15 % нужен из-за ветра, неодинаковых поленьев, открывания дверей и колебаний КПД — отсюда практические 100 кг. «Стандартного полена» в физическом смысле нет: два одинаковых по длине полена различаются по массе почти вдвое, поэтому считать надо в килограммах.

А зачем тогда печь объёмом 5 м³? Она почти не меняет количество энергии, которое должно попасть в дом, но радикально меняет график её поступления. Из пяти кубометров объёма на сам кирпич приходится около 3 м³, остальное занимают топка и дымовые каналы; при плотности кладки около 1800 кг/м³ это 5,4 тонны. Остывая на 50 °C при теплоёмкости кирпича около 0,84 кДж/(кг·К)⁴, кладка отдаёт $5400\cdot 840\cdot 50/(3{,}6\cdot 10^{6}) \approx 63$ кВт·ч — почти столько, сколько дом теряет за одну холодную ночь (73 кВт·ч). Массивная печь — это аккумулятор: она превращает короткую жаркую топку в многочасовую спокойную теплоотдачу.

Где работает тот же закон? Всюду, где тепло запасают массой: чугунная сковорода «держит жар» после снятия с огня, тепловые аккумуляторы в котельных делают то же самое тоннами воды, а толстостенный заварочный чайник греют кипятком перед заваркой — предварительная «топка» той же физики.

Где перестаёт работать. Расчёт относится к дому, который уже прогрет. Если дом, стены и печь изначально холодные, нужно сначала нагреть несколько десятков тонн материала — стартовый расход топлива может оказаться сопоставим со всем двухсуточным.

Что будет с температурой, если перестать топить, — и как узнать честный ответ для своего дома без единой справочной таблицы?

Пусть вся внутренняя масса дома имеет температуру около 20 °C, а печь больше не даёт тепла. В простейшей «сосредоточенной» модели

$$C\,\frac{dT}{dt} = -H\,(T - T_{\text{out}}),$$

где $C$ — эффективная теплоёмкость здания. Словами: скорость остывания пропорциональна разности температур — тёплый дом на морозе теряет градусы быстро, едва остывший — еле-еле. При постоянной наружной температуре решение школьно красивое:

$$T(t) = T_{\text{out}} + (T_0 - T_{\text{out}})\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{C}{H}.$$

Иначе говоря, дом остывает не «на столько-то градусов в час», а по экспоненте: чем меньше разность температур, тем медленнее дальнейшее остывание.

Но чему равно $C$? За сутки успевает прогреться и остыть не вся толщина массивной стены. Для периодического процесса характерная глубина проникновения тепла $\delta \sim \sqrt{\alpha P/\pi}$, где $\alpha = \lambda/\rho c$ — температуропроводность. Для кирпича $\alpha \approx 4{,}6\cdot 10^{-7}$ м²/с, и при периоде 24 часа $\delta \approx 0{,}11$ м — работает только дециметровый внутренний слой. Оценим слагаемые. Активный слой наружных стен: $178{,}5\cdot 0{,}11\cdot 1800\cdot 840/(3{,}6\cdot 10^{6}) \approx 8$ кВт·ч/К. Перекрытия (допущение: около 150 м² бетонных плит, активный слой 0,1 м, плотность 2300 кг/м³, теплоёмкость 1000 Дж/(кг·К)¹): $150\cdot 0{,}1\cdot 2300\cdot 1000/(3{,}6\cdot 10^{6}) \approx 10$ кВт·ч/К. Печь целиком: $5400\cdot 840/(3{,}6\cdot 10^{6}) \approx 1{,}3$ кВт·ч/К. Это около 19 кВт·ч/К; часть слоёв за сутки прогревается не целиком, а внутренние стены и мебель добавляют немного, поэтому для оценки берём $C_{\text{eff}} \approx 18$ кВт·ч/К. Для сравнения, стандартный класс «тяжёлое здание» (ISO 13790) даёт 260 кДж/(м²·К) площади пола, то есть для 150 м² около 11 кВт·ч/К без печи²; наш дом тяжелее типового, потому что стены в два кирпича. Тогда

$$\tau \approx \frac{18}{0{,}433} \approx 42\ \text{часа}.$$

То есть за 42 часа разность температур с улицей падает в $e \approx 2{,}7$ раза — почти двое суток на одно «съёживание» перепада. Если начать утром с 20 °C и больше не топить (12 °C днём, 6 °C ночью, формула кусочно по 12 часов, $e^{-12/42}\approx 0{,}75$):

Тяжёлый дом сглаживает суточные скачки наружной температуры — в этом и смысл «дом держит тепло». Эффективную теплоёмкость зданий оценивают по-разному: наша «сосредоточенная» модель — сознательное огрубление, она не учитывает, что стены остывают неравномерно (внутренний слой быстро, толща — медленно), поэтому строгий расчёт даёт не одну экспоненту, а сумму нескольких. Но для оценки это не страшно: если $C_{\text{eff}}$ окажется не 18, а 12–25 кВт·ч/К, постоянная времени будет 28–58 часов, а температура через двое суток — 10,4–13,6 °C. Оценка устойчива по порядку величины.

Почему ответ не один. Самый чувствительный параметр — не объём печи, а $H$, качество оболочки дома:

Поэтому бытовая фраза «дом 150 квадратов» для теплотехника почти так же неполна, как «автомобиль массой две тонны» для оценки расхода топлива: нужны сопротивление движению, режим и эффективность двигателя.

Проверяемый вопрос. Вся оценка сводится к трём величинам — $H$, КПД $\eta$ и теплоте сгорания $q$:

$$m = \frac{H\,\Delta t\,(T_{\text{in}} - \overline{T}_{\text{out}})}{\eta q}.$$

Читается так: масса дров — это всё утёкшее из дома тепло, делённое на полезную теплоту одного килограмма. Для наших двух суток она превращается в $m \approx 203\,H$ кг — измерение одного $H$ снимает главную неопределённость. И его правда можно измерить. В спокойную погоду поддерживайте несколько часов постоянную температуру электрообогревателями известной суммарной мощности $P$ (печь в это время не должна заметно греть дом). В установившемся режиме $H \approx P/(T_{\text{in}} - T_{\text{out}})$: если при разности 10 К дом держится на 4,0 кВт, то $H \approx 0{,}40$ кВт/К — почти как в модели. А опыт со свободным остыванием даёт постоянную времени без всякой теплопроводности стен: $\tau = -\Delta t \,/\, \ln[(T_2 - T_{\text{out}})/(T_1 - T_{\text{out}})]$. Так оценочная задача превращается в маленький физический эксперимент над собственным домом.