Почему планеты круглые, а астероиды — нет?

Почему планеты круглые, а астероиды — нет? Сравните три тела одинакового объёма: куб, цилиндр, шар. У куба площадь поверхности примерно на 24% больше, чем у шара; у вытянутого цилиндра — ещё больше. Шар — форма с наименьшей поверхностью при заданном объёме. Но тяготению площадь поверхности безразлична: оно тянет каждую частицу к центру, и устойчива только форма, где все точки поверхности одинаково близки к центру.

Различие формы планет и астероидов объясняется соревнованием двух сил: гравитации, сжимающей тело к центру, и прочности породы, сопротивляющейся сжатию.

Для малых тел (радиус до ~200–300 км) прочность побеждает, и форма остаётся случайной — отсюда «картофельные» астероиды вроде Фобоса, Иды, Эроса. При большем радиусе вес верхних слоёв раздавливает нижние, порода течёт, и тело скатывается к форме с наименьшей энергией тяготения. Выступ — это масса, лежащая выше остальной поверхности, и она сползает вниз, пока поверхность не окажется везде одинаково удалённой от центра притяжения. У куба центр грани отстоит от центра на половину ребра, а угол — на 0,87 ребра, в 1,73 раза дальше: вещество из углов осыпается к граням. Шар — единственная форма, где такого перепада нет. Порог перехода — диаметр примерно 400–600 км.

1. крупное: только шар
2. малое: прочность держит любую форму
3. радиус ~300 км: тяжесть сминает выступы

Две причины — одна форма. Капля воды и мыльный пузырь круглы потому, что энергия поверхностной плёнки пропорциональна её площади, и плёнка стягивается к минимуму площади. Пузырёк газа в стакане округляется тем же натяжением; давление газа внутри одинаково во все стороны и лишь уравновешивает плёнку. У планеты работает другая причина: тяготение сводит вещество к минимуму гравитационной энергии. Шар оказывается оптимальным в обеих задачах, но задачи разные, и совпадение формы не значит, что действует один закон.

Откуда порог 400–600 км. Его оценивают через размерностный анализ из сравнения гравитационного давления и прочности породы: R ≈ √(σ/Gρ²), где σ — прочность, ρ — плотность, G — гравитационная постоянная. Откуда формула: давление на глубине $r$ в однородном шаре радиуса $R$ равно $P(r)=\tfrac{2\pi}{3}G\rho^2(R^2-r^2)$. Тело становится шаром, когда давление внутри достигает прочности породы $\sigma$ и порода начинает течь. Если взять давление на половине радиуса, получится $R\approx\sqrt{2\sigma/(\pi G\rho^2)}$: для $\sigma\approx10$ МПа и $\rho=2500$ кг/м³ это около 120 км, а более аккуратный учёт перепада давлений под выступом даёт около 240 км, как у наблюдаемых «картофелин»¹. Лёд менее прочен, чем камень, но и легче: радиус зависит от $\sqrt\sigma/\rho$. По наблюдаемым порогам (около 200 км у ледяных спутников и около 300 км у каменных астероидов) те же авторы оценивают, что прочность льда в период формирования была примерно в 14 раз ниже прочности породы¹.

Исторический контекст. Утверждение, что среди фигур заданного периметра круг охватывает наибольшую площадь (изопериметрическая теорема), известно с античности для плоского случая; для двух измерений его доказал Штейнер, для трёх — Шварц и Минковский. Мыльный пузырь — физическая демонстрация теоремы, а не её доказательство.

Границы применимости. Быстрое вращение сплющивает шар (Земля, Юпитер, Хаумеа); состав тела меняет порог округления — ледяной Мимас становится шаром уже при 400 км, а каменная Веста при 525 км так и не стала шаром.

Кто открыл. Что самогравитирующая жидкость в покое обязана быть шаром, а при вращении — сплюснутым эллипсоидом, вывел Ньютон в «Началах» 1687 года и по сплюснутости Земли предсказал, что градус меридиана у полюса длиннее, чем у экватора; французские экспедиции в Лапландию и Перу в 1730-х это подтвердили. Формы вращающихся жидких тел — от эллипсоидов Маклорена до грушевидных фигур — разбирали Якоби, Пуанкаре и Ляпунов; Александр Ляпунов в 1900-х доказал устойчивость части этих фигур строго. Астероиды же оказались «картофелинами» лишь в 1991 году, когда «Галилео» впервые сфотографировал Гаспру вблизи².

Открытый вопрос. Почему у порога округления есть разброс: Веста при 525 км так и осталась угловатой, а ледяная Мимас при 400 км — шар. Прочность породы зависит от истории тела — ударов, разогрева, льда в трещинах, — и предсказать по одному размеру, округлилось ли тело, пока нельзя.