Почему перелётные птицы летят клином?

Осенью над поймой Свияги тянутся на юг гуси и журавли, и стая всегда выстроена углом: одна птица впереди, остальные — двумя расходящимися линиями, каждая чуть сбоку и позади соседа. Скворцы, воробьи и чайки так не летают — они идут стаей без строя. Клин держат только крупные птицы, которые летят далеко. Значит, дело не в красоте и не в порядке, а в чём-то, что у больших птиц есть, а у маленьких нет.

Это что-то — след крыла. Крыло держит птицу тем, что отбрасывает воздух вниз; но у концов крыла воздух перетекает снизу вверх и закручивается в два вихря, которые тянутся за птицей десятки метров. Внутри следа воздух идёт вниз, а снаружи, за концами крыльев, — вверх. Птица, севшая чуть сбоку и позади, попадает в этот восходящий поток: часть подъёмной силы ей даёт воздух, уже поднятый соседом. Чем крупнее птица, тем быстрее воздух закручен в её вихрях в абсолютной мере; но в долях скорости полёта подъём у воробья был бы того же порядка (расчёт в «Глубже»), так что почему мелкие птицы клина не держат, одной силой вихря не объяснить.

Отсюда и форма: каждая птица занимает место за концом крыла соседа, и стая сама складывается в угол. Вожак работает больше всех, поэтому вожаки сменяются.

Что сделать. Когда над вами пройдёт клин, посмотрите на расстояние между птицами: они летят так, чтобы крыло ведомого приходилось снаружи от вихря, который сходит с конца крыла соседа, почти вплотную к нему: у канадских гусей расстояние между концами крыльев соседей в среднем около 20 см¹. И все летят на одной высоте. Пронаблюдайте пять минут — увидите, как передняя птица уходит назад, а её место занимает другая.

Восходящий поток за крылом. Подъёмная сила крыла — реакция воздуха, отброшенного вниз. Но воздух не может идти вниз только под крылом: по краям он обтекает концы и уходит вверх, образуя за каждым концом вихрь. Между вихрями — нисходящий поток, снаружи от них — восходящий. Птица, поставившая своё крыло в восходящий поток, получает воздух, набегающий чуть снизу, и для той же подъёмной силы ей нужен меньший угол атаки и меньшая работа. Ширина восходящей зоны — порядка половины размаха, поэтому выгодная позиция — сбоку, а не прямо за спиной: сзади только нисходящий поток и тряска.

1. вид сзади: птицы летят от нас
2. сосед позади и сбоку: крыло в восходящем потоке
3. за концом крыла — вверх
4. между крыльями воздух идёт вниз

Предположения, стоящие за картиной:

1. Птицы летят на одной высоте и с одной скоростью: вихрь остаётся там, где его оставили.
2. Птицы держат позицию точно: сдвинулся внутрь — попал в нисходящую половину, и станет хуже, чем в одиночку.
3. Полёт долгий и ровный: на коротком перелёте выстраиваться дороже, чем лететь как попало.

Сколько это даёт. Расчёты 1970 года для стаи в 25 птиц обещали до 70 % прибавки дальности, но это идеальный строй с точностью до сантиметров. Измерения на живых птицах скромнее и убедительнее: у пеликанов, летящих строем, частота сердцебиения на 11–15 % ниже, чем у летящих в одиночку, и махать крыльями они начинают реже, чаще планируя. Иначе говоря, реальный выигрыш — десять-двадцать процентов сил, и на перелёте в тысячи километров этого хватает, чтобы долететь тем, кто иначе не долетел бы.

Проверьте сами. Посмотрите на клин против света: птицы взмахивают крыльями не в такт, а с задержкой, как волна по трибуне. Это не случайность: восходящий поток за машущим крылом сам колеблется, и сосед подстраивает взмах под него.

Тот же принцип в других местах. Военные самолёты в строю экономят топливо по той же схеме, а испытания с грузовыми самолётами в 2010-х показали экономию около 10 % у ведомого. Велосипедисты в пелотоне и гонщики «в коробочке» прячутся от встречного потока — это другой эффект, аэродинамическая тень, но экономика та же: следующий платит меньше первого, поэтому лидеров меняют. Рыбы в косяке используют вихри соседей, а дельфины подкатываются к носу корабля на его волну.

Формула. Вихрь за концом крыла с циркуляцией $\Gamma$ создаёт на расстоянии $r$ от своей оси вертикальную скорость

$$w = \frac{\Gamma}{2\pi r}$$

модель

где $\Gamma \approx L/(\rho\,v\,b)$ определяется подъёмной силой $L$ (то есть весом птицы), скоростью $v$, плотностью воздуха $\rho$ и размахом $b$. Это теорема Жуковского, $L = \rho v \Gamma b$, с поправкой около $4/\pi$ для эллиптического распределения подъёмной силы. Иначе говоря, чем тяжелее птица и чем медленнее летит, тем сильнее закручен воздух за ней. Для гуся массой 3 кг, размахом 1,5 м и скоростью 15 м/с циркуляция около 1,4 м²/с. Вихрей у лидера два, на расстоянии $\pi b/4 \approx 1{,}2$ м друг от друга, и дальний вычитает часть подъёма от ближнего: на полуметре от оси ближнего вихря воздух поднимается со скоростью $\dfrac{\Gamma}{2\pi}\left(\dfrac{1}{0{,}5} - \dfrac{1}{0{,}5+1{,}2}\right) \approx 0{,}31$ м/с — около 2 % скорости полёта, то есть около 1,2° «бесплатного» угла атаки; для крыла, работающего на углах в 5–8°, это заметная доля.

Сравнивать воробья с гусем на том же полуметре нечестно: воробей летит с размахом 0,2 м. При тех же пропорциях (масса 30 г, скорость 10 м/с, расстояние до вихря в треть размаха) та же формула даёт $\Gamma \approx 0{,}16$ м²/с и подъём около 0,26 м/с, то есть около 2,6 % скорости полёта, как у гуся. Значит, дело не в том, что вихрь слабее: в долях скорости он такой же.

Как это измерили. Теорию строя посчитали Лиссаман и Шолленбергер в 1970 году, и полвека она оставалась расчётом¹. В 2001 году Веймерскирх с коллегами надели кардиодатчики на пеликанов, приученных лететь за мотодельтапланом, и получили те самые 11–15 % экономии сердечных ударов². А в 2014 году группа из Лондона повесила GPS-регистраторы с точностью до сантиметров и датчики взмаха на четырнадцать лесных ибисов, которых люди вели на самолёте из Австрии в Италию: птицы держались за концом крыла соседа с точностью, которую предсказала теория, и — главное — сдвигали фазу взмаха так, чтобы их крыло шло вверх ровно там, где восходящий след соседа; а когда птица оказывалась прямо за спиной другой, она перестраивала фазу в противофазу, чтобы уйти из нисходящего потока³. Иначе говоря, птица не просто занимает место в строю, а чувствует след и следит за ним каждым взмахом.

Кто открыл. Вихревую природу подъёмной силы — что крыло держится циркуляцией воздуха вокруг него и что эта циркуляция сходит с концов крыла вихрями — установили независимо Фредерик Ланчестер в Англии, Николай Жуковский в Москве и Людвиг Прандтль в Гёттингене между 1894 и 1918 годами; Прандтль в 1918-м посчитал, что вихри отнимают у крыла, и получил «индуктивное сопротивление» — ту самую цену, которую сосед в клине частично не платит. Что птицы её не платят, впервые обсуждали в 1910-х, когда авиаторы летали строем и заметили, что ведомому легче.

Границы этого рассуждения.

• Выигрыш есть только при точном строе. Отклонение внутрь на четверть размаха переводит птицу из восходящей зоны в нисходящую: строй хуже одиночного полёта.
• Не все клинья — про энергию. Утки летят плотнее, чем выгодно, а мелкие кулики держат строй в первую очередь для обзора и защиты от сокола; у них экономии почти нет.
• Тряска. Воздух в следе неспокоен, и часть выигрыша уходит на удержание равновесия — на живых птицах экономия всегда меньше расчётной.
• Вожак не всегда сильнейший. У ибисов лидерство сменяется по очереди и в среднем каждый ведёт столько же, сколько его ведут; строй держится на взаимности.

О чём спорят. Зачем строй мелким и средним птицам, которым он энергии не даёт? Одна школа считает, что угол — способ каждой птице видеть соседей и не сталкиваться, а экономия у крупных птиц — приятное дополнение к обзору; другая — что строй возник ради экономии, а обзор вторичен. Разделить две функции на одной стае трудно, и спор о происхождении клина не закрыт³.

Открытый вопрос. Как птица чувствует восходящий поток? Датчиков давления на крыле, как у самолёта, у неё нет; предположительно — по перьям, которые встают дыбом в турбулентности, и по усилию на маховых. Но как из этих ощущений складывается точное положение за концом крыла соседа и фаза взмаха, — не измерено.